この記事では，数Ⅰ「多項式の乗法と展開」についてわかりやすく解説していきます！
中学校で習った公式の他にも，新しい公式が出てきます！
一緒に学んでいこう！
まずは，基本的な単項式の乗法から確認していくよ！
それを語る上で欠かせないのが「指数法則」です！
\(m\)，\(n\)は整数とする。
１．\(a^ma^n=a^{m+n}\)
２．\((a^m)^n=a^{mn}\)
３．\((ab)^m=a^nb^m\)
実際に使っていくよ！
例題）次の計算を求めなさい。
\((1)\quad3x^{2}\times5x^{3}\)
\((2)\quad(2a^{3})^{4}\)
\((3)\quad(3x^4y)^{2}\times(-2x^3y)\)
解答）
\((1)\quad\eqalign{3x^{\color{red}{2}}\times5x^{\color{red}{3}}&=(3\times5)x^{\color{red}{2+3}}&=15x^5}\)
\((2)\quad(2a^{\color{red}{3}})^{\color{red}{4}}=2a^{\color{red}{3\times4}}=2a^{12}\)
\(\begin{align}(3)\quad(3x^4y)^{\color{red}{2}}\times(-2x^3y)&=3^{\color{red}{2}}(x^4)^{\color{red}{2}}y^{\color{red}{2}}\times(-2x^3y)\\&=9x^8y^2\times(-2x^3y)\\&=\{9\times(-2)\}x^{\color{red}{8+3}}y^{\color{red}{2+1}}\\&=-18x^{11}y^3\end{align}\)
では，いよいよ多項式の乗法をやっていこう！
例題１）次の計算を求めなさい。［（単項式）×（多項式）］
\((1)\quad3x(x^2-3x+4)\)
\((2)\quad(x^2y+3)xy\)
解答）
ちょっと待って！！！
この「\(\cdot\)」って何ですか！！！
そうか！コアラくんは知らなかったね！
これは「×（掛け算）」と同じだよ！
高校からは、こうやって省略することが多いよ！
高校になるといちいち「×」と書くと式が複雑になるときがあるんだ！（中学の時より式が長くなりがちなんだよね…）
だから，「\(\cdot\)」で省略して表すよ！
例題２）次の計算を求めなさい。［（多項式）×（多項式）］
\((1)\quad(x+3)(x^3-3x^2-4)\)
\((2)\quad(2x^2-3-x)(x-1)\)
解答）
このように多項式の積の形を計算して和の形にすること（カッコを外すこと）を
「展開」というんだ！
でも，先生いちいち多項式の分配法則をするのはしんどいよ…
そんな君のために「乗法公式」というものがあるんだ！
まずは，中学校で習ったものから復習しよう！
１．\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2,(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
２．\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\quad\)
※「和と差の積」といわれる重要公式。\((和)\times(差)=(二乗)-(二乗)\)と覚えよう！
３．\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
例題１）式を展開しなさい。
\((1)\quad(3x-2y)^2\)
\((2)\quad(5x+6y)(5x-6y)\)
\((3)\quad(x+7)(x+4)\)
解答）
\(\eqalign{(1)\quad(3x-2y)^2&=(3x)^2-2\cdot3x\cdot2y+(2y)^2\\&=9x^2-12xy+4y^2}\)
\(\eqalign{(2)\quad(5x+6y)(5x-6y)&=(5x)^2-(6y)^2\\&=25x^2-36y^2}\)
\(\eqalign{(3)\quad(x+7)(x+4)&=x^2+(7+4)x+7\cdot4\\&=x^2+11x+28}\)
※慣れてる人は，一行で出してみよう！
なんとなく，中学校でならった内容思い出したよ！！
じゃあ、次の問題はどうする？
例題２）\((3x+2)(x+4)\)を展開しなさい。
…これは、どの展開の公式にも当てはめられないよ。
分配法則するか…
諦めるには，まだ早い！
高校では，こういう式のために新しい乗法公式があるよ！！
４．\((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
\(\eqalign{証明）\quad(ax+b)(cx+d)&=ax\cdot{cx}+ax\cdot{d}+b\cdot{cx}+b\cdot{d}\\&=acx^2+adx+bcx+bd\\&=acx^2+(ad+bc)x+bd}\)
では，例題２で使っていきましょう。
\(\eqalign{例題２の解答）\quad(3x+2)(x+4)&=3\cdot1x^2+(3\cdot4+2\cdot1)x+2\cdot4\\&=3x^2+14x+8}\)
この展開も慣れてきたら，一行で終わらせたいよね！
そのときの考え方を教えるよ！
これを参考に、たくさんの問題を練習しよう！！
展開の計算は，これからどこの分野でも必要となります！
様々な問題を多く解いて，完璧にしちゃいましょう！！
